Risikomanagement

Einsteins Erben in den Banken

19.05.2005
, 16:27
Die Mathematik der "Brownschen Bewegung" ist Grundlage sowohl der Atomphysik als auch der modernen Finanzmathematik.

Überraschende Karrieren: Goetz Giese hat 1996 über die "Dynamik granularer Teilchen" seinen Doktor in Physik gemacht, heute arbeitet er im Risiko-Controlling der Commerzbank. Roland Peetz ist promovierter Experte für Quantenfeldtheorie - und handelt seit vergangenem Jahr für die Hypo-Vereinsbank mit Derivaten. Solche Laufbahnen vom Physiker zum Banker sind keine Einzelfälle. Giese und Peetz gehören zu den Finanzfachleuten, die im Bankgeschäft - halb spöttisch, halb bewundernd - "Rocket Scientists" genannt werden. Sie beherrschen die hochgezüchtete Mathematik, mit der sich Risiken eingrenzen, die Preise von Aktienoptionen und ähnlichen derivativen Finanzinstrumenten berechnen lassen.

Ausgangspunkt dieser merkwürdigen Symbiose von Physik, Mathematik und Finanzgeschäft ist das Jahr 1827. Damals beobachtete der schottische Botaniker Robert Brown, daß sich ein Getreidepollen in einer Flüssigkeit in einem unvorhersehbaren Zickzack hin und her bewegt. Mit Hilfe der Wärmelehre entwickelte Einstein Jahrzehnte später eine mathematische Formel zur Beschreibung dieser "Brownschen Bewegung": Demnach wird der Pollen durch die Wassermoleküle - die damals noch nicht sichtbar gemacht werden konnten - hin und her geschubst. Einsteins Modell war bahnbrechend. Deshalb wurde die Mathematik der Zufallsprozesse in den folgenden Jahren rasch weiterentwickelt.

Was Einstein nicht wußte: Bereits fünf Jahre vor ihm hatte der französische Mathematiker Louis Bachelier eine eigene Formel für die "Brownsche Bewegung" ausgetüftelt - für eine Promotionsschrift über die Börsenspekulation. Bachelier hatte einige Jahre an der Pariser Börse gearbeitet, an der es schon damals einen hochentwickelten Markt für Anleihen und Optionen gab. Von 1892 an studierte Bachelier an der Sorbonne Mathematik. Zu seinen Lehrern und Förderern zählte Henri Poincare, der berühmte Mathematiker. Im März 1900 legte Bachelier seine "Theorie de la Speculation" vor. Deren Clou: Bachelier betrachtet den Verlauf eines Aktienkurses rein mathematisch, als Zufallsprozeß. Wie die unsichtbaren Moleküle den Getreidepollen hin und her schubsen, treiben Käufer und Verkäufer die Börsenkurse unvorhersehbar nach oben oder unten.

In welche Richtung erfolgt die nächste Kursbewegung, und wie groß ist sie? Ökonomen suchen auf diese "Hunderttausend-Dollar-Frage" eine Antwort in den Erwartungen der Anleger, in den Motiven der Spekulanten, die sich mal von Gier, mal von haltloser Panik treiben lassen. Nicht so Bachelier: Er geht die Frage mit der Wahrscheinlichkeitstheorie an. Demnach kann die Aktie im nächsten Schritt stark steigen, moderat fallen oder gänzlich unverändert bleiben. Alles ist möglich - aber jedes Ergebnis ist mehr oder weniger wahrscheinlich, wobei Bachelier davon ausgeht, daß die zurückliegende Schwankungsintensität auch die zukünftige Volatilität des Börsenkurses bestimmt. Bacheliers Modell arbeitet damit bereits mit den Größen, die für das heutige Finanzgeschäft zentral sind: Wahrscheinlichkeitsverteilung und Volatilität. Zudem erdenkt er eine mathematische Formel, wie sich solch ein Zufallsprozeß im Zeitablauf Schritt für Schritt fortpflanzt. Erst viele Jahre später wurde erkannt, daß sich mit dieser Formel nicht nur der "Random Walk" eines Börsenkurses modellhaft beschreiben läßt, sondern ganz allgemein die Brownsche Bewegung - wobei Fachleute Bacheliers Lösung für mathematisch eleganter halten als diejenige, die Einstein fünf Jahre später vorlegte.

Wer hofft, in der "Theorie de la Speculation" Tips für Aktienkauf oder -verkauf zu finden, wird enttäuscht. Schließlich ist in Bacheliers Modell ein Anstieg des Kurses zu jedem Zeitpunkt genauso wahrscheinlich wie ein Rückgang. Am wahrscheinlichsten aber ist, daß der Kurs sich überhaupt nicht ändert. Was ist der praktische Nutzen solch eines "unverbindlichen" Modells? Mit ihm läßt sich die Wahrscheinlichkeit bestimmen, wann ein Wertpapier auf seinem "Random Walk" ein bestimmtes Kursniveau erreichen wird. Bachelier nutzte dies, um den "fairen Wert" sogenannter Barrier-Optionen abzuschätzen, eines Optionstyps, der damals an der Pariser Börse gehandelt wurde.

Den Promotionsausschuß an der Sorbonne ließen Bacheliers Formeln freilich lauwarm. Das Thema "Börsenspekulation" war der damaligen Mathematik zu fremd. Unter Vorsitz von Poincare erhielt Bachelier nur die zweitbeste Note. Ihm war damit versperrt, Professor an einer Eliteuniversität zu werden. Bachelier starb 1946 als verkanntes Genie. Heute gilt er als der frühe Begründer der modernen Finanzmathematik.

Bacheliers später Siegeszug beginnt in den fünfziger Jahren. Inzwischen hatte John M. Keynes, der selbst ein leidenschaftlicher Spekulant war, die Börsenspekulation ins Zentrum der ökonomischen Analyse gerückt. Seine Kernthese zur Erklärung der Großen Depression: Anders als von der Neoklassik behauptet, führt der Zins Angebot und Nachfrage am Kapitalmarkt nicht immer zum Gleichgewicht: wenn nämlich die Spekulanten in ihrer Mehrheit Liquidität horten, weil ihnen das Risiko eines Kursverfalls an den Kapitalmärkten als zu hoch erscheint. In der Folge analysieren Harry Markowitz, der Keynes-Schüler James Tobin und William Sharpe die Frage, wie sich die Risiken einer Kapitalanlage durch Diversifikation verringern lassen. Das weckt das Interesse auch an Optionen. Denn auch mit diesem Instrument lassen sich Risiken begrenzen.

Der Fluch der Investmentfonds: Die These von der Markteffizienz

Wiederentdeckt wird Bachelier von Paul A. Samuelson. Schon damals ein Starökonom, stößt er bei der Arbeit an einer Theorie des Optionspreises halb zufällig auf die "Theorie de la Speculation". Deren Annahmen und Thesen haben seither viele Forscher inspiriert. Das gilt zum Beispiel für Bacheliers Grundannahme, daß ein Börsenkurs stets alle kursrelevanten Informationen schon widerspiegelt - andernfalls, so Bacheliers Argument, wäre er nicht da, wo er ist, sondern höher oder tiefer. Eugene Fama formt daraus in den sechziger Jahren die "Efficient Market Hypothesis" - die zum "Fluch der Investmentfonds" wird. Denn Famas These von der Markteffizienz behauptet, daß selbst hochbezahlte Fondsmanager keine Chance haben, die durchschnittliche Wertentwicklung des Aktienmarktes dauerhaft zu schlagen.

Bis heute heftig umstritten, hatten Famas provokante Thesen weitreichende Konsequenzen: Seither legen zahlreiche Vermögensverwalter sogenannte Indexfonds auf: Statt aufwendig und gebührenträchtig vermeintlich aussichtsreiche Aktien aufzuspüren, beschränken sich diese Fonds darauf, den Aktienmarkt in ihrem Portefeuille einfach nachzubilden. Das spart dem Anleger viel Geld und wirft mittelfristig doch gute Renditen ab. Für seine Arbeiten hat Fama, der an der Universität Chicago lehrt, unlängst den neu gestifteten Frankfurter Preis für Finanzmarkttheorie erhalten.

Mehr oder minder bewußt knüpfte auch die Optionspreistheorie an Bacheliers frühe Arbeit an. Ende der sechziger Jahre suchten Fisher Black und Myron Scholes nach einer Formel zur Bewertung von Optionen. Black hatte Physik studiert und in Mathematik promoviert, Scholes war durch seine Dissertation mit Famas "Efficient Market Hypothesis" wohlvertraut. Nachdem sie mehrfach in Sackgassen gelandet waren, experimentierten die beiden schließlich mit der Beobachtung, daß sich Kaufoptionen auch "synthetisch" herstellen lassen: durch den Kauf einer genau bestimmten Zahl von Aktien, der zum Teil mit Kredit finanziert ist. Bewerten heißt vergleichen: Die Option muß genausoviel wert sein wie dieses spezielle "Portfolio" - andernfalls wäre Arbitrage möglich. Was aber ist der "faire Wert" des Portfolios?

Robert Merton, ein mathematisch versierter Ökonom, steuerte die Lösung bei. Er war mit der Mathematik kontinuierlicher Zufallsprozesse vertraut, die Bachelier und Einstein angedacht und die Norbert Wiener und Kiyoshi Ito inzwischen vervollkommnet hatten. Merton wandte die Formel für die Brownsche Bewegung, die in der Physik damals schon zum Basiswissen zählte, auf die Entwicklung der Aktien im Portfolio an. Das brachte den Durchbruch. 1972 veröffentlichten Black und Scholes ihre später nach ihnen benannte berühmte Formel für die Bewertung von Optionen. Merton folgte wenig später mit einem ebenfalls bahnbrechenden Aufsatz, in dem er das Eigenkapital eines Unternehmens als Kaufoption für dessen Aktiva deutete. Scholes und Merton erhielten 1997 den Nobel-Gedächtnispreis für Wirtschaftsforschung; Black hätte ihn sicherlich auch zuerkannt bekommen, doch war er bereits 1995 verstorben.

Die Black-Scholes-Formel war ein Zündfunken. Rasch verfeinerten und erweiterten die drei Entdecker und andere Ökonomen und Mathematiker das zunächst noch rudimentäre Bewertungsmodell. Inzwischen ist die Finanzmathematik ein etabliertes, rasch wachsendes Wissenschaftsfach, das ständig neue, immer komplexere Modelle "ausspuckt". Gleichzeitig machten sich Banker in Wall Street daran, die abstrakten Formeln in Geschäftsmodelle umzumünzen. Weil es dabei an einschlägig versierten Ökonomen fehlte, heuerten die Investmentbanken zahlreiche Physiker und Mathematiker an. So hielten Einsteins - und Bacheliers - Erben Einzug in die Handelssäle der Banken. Noch heute, dreißig Jahre nach der Entdeckung der Black-Scholes-Formel, zählen sie dort zum Stammpersonal. So ist jeder zehnte Akademiker, den die Deutsche Bank in Deutschland einstellt, von der Ausbildung her Naturwissenschaftler. Im DerivateEigenhandel der Hypo-Vereinsbank sind fünf von sechs Mitarbeitern Mathematiker und Physiker.

Inzwischen haben sich freilich auch zahlreiche Wirtschaftsfakultäten darauf spezialisiert, Finanzmathematiker auszubilden. So lehren und forschen an der privaten Frankfurter Hochschule für Bankwirtschaft ein halbes Dutzend Professoren auf diesem Feld. Ihre Lehrbücher sind gespickt mit komplizierten mathematischen Formeln, gleichen auf den ersten Blick eher einem Physik- als einem Ökonomiebuch. Wer diese Kurse in "Financial Engineering" und "Quantitative Finance" meistert, braucht sich um den Arbeitsplatz kaum Sorgen zu machen. Denn das Geschäft mit Optionen und ähnlichen derivativen Finanzinstrumenten expandiert sprunghaft, zieht immer weitere Kreise.

Motor dieses Booms ist, daß Unternehmen und Banken ihre Risiken mit Hilfe derivativer Finanzinstrumente eingrenzen oder völlig eliminieren können. Beispielsweise kann ein Exporteur das Risiko einer ungünstigen Entwicklung des Wechselkurses durch Kauf von Optionen begrenzen, eine Bank das Zinsänderungsrisiko für sich mit Hilfe von Derivaten ausschalten. Gleiches ist inzwischen mit einer Vielzahl von Risiken möglich. Die Ausschaltung des Wechselkursrisikos schützt den Exporteur vor Währungsverlusten. Das stärkt seine Position im internationalen Wettbewerb - und belebt dadurch sein eigentliches Geschäft, zum Beispiel die Maschinenproduktion. Eine hochgezüchtete Risikokontrolle ist deshalb zu einem wichtigen Wettbewerbsparameter, zu einer Art Produktionsfaktor geworden.

Die Optionspreismodelle wiederum erlauben es den Banken, die Derivate, die sie ihren Kunden zur Risikobegrenzung anbieten, zu bewerten und dadurch in großem Stil handelbar zu machen. Zudem sichern auch sie ihre Risiken mit Hilfe von Derivaten und optionsmodellgestützten Handelsstrategien, dem "Dynamic Hedging", ab. Dieser lebhafte, fortlaufende Handel mit Derivaten wiederum ist spezialisierten Händlern die Grundlage für Arbitragegeschäfte. Gleichzeitig setzen Anleger Derivate ein, um zu spekulieren. Teils geht es dabei darum, Risiken gezielt einzugrenzen, teils auch darum, den eigenen Kapitaleinsatz zu "hebeln": Denn wie bei einer Lotterie lassen sich über Derivate mit kleinem Einsatz große Gewinne erzielen - allerdings bei hohem Verlustrisiko.

Modelle sind Werkzeuge. Sie reduzieren die komplexe Wirklichkeit auf wenige überschaubare Einflußgrößen. So beruhen auch die Optionspreismodelle auf bestimmten Annahmen und Wahrscheinlichkeitskalkülen. Manche gehen, wie schon Bachelier, davon aus, daß die Volatilität der Aktienkurse auch in Zukunft nicht größer ist als in der Vergangenheit. Wehe aber, es kommt anders - zum Beispiel, weil Anleger, ganz menschlich, plötzlich in Panik verfallen und ihre Wertpapiere, "koste es, was es wolle", auf den Markt werfen. Dann fallen die Modelle wie Kartenhäuser zusammen und bescheren den Banken und Anlegern, die auf sie gebaut haben, herbe Verluste. Zu den größten "Unfällen" zählte die "Portfolio Insurance", die Mitte der achtziger Jahre in Wall Street mit viel Marketinggetöse an Investoren verkauft wurde. Diese "synthetische Option" sollte Anleger gegen einen Verfall der Aktienkurse schützen. Das Modell schreibt seinen Nutzern vor, bei Kursrückgängen am Aktienmarkt selber Aktien zu verkaufen. Die smarten Verkäufer hatten allerdings unterschätzt, welche Eigendynamik solch eine Strategie bei einer breiten Talfahrt der Kurse entwickeln würde. Mit üblen Folgen: Nach Einschätzung der später eingesetzten Untersuchungskommission hat die "Portfolio-Versicherung" maßgeblich zu dem "Börsenkrach" im Oktober 1987 in Wall Street beigetragen. Um einer Wiederholung vorzubeugen, hat die New York Stock Exchange seither den "Programmhandel" beschränkt.

Ein zweiter "GAU" folgte im Oktober 1998 unter direkter Mitwirkung von Merton und Scholes. Die beiden hatten 1993 mit einem Wall-Street-Starhändler den Investmentfonds LTCM aufgelegt, der auf Basis raffinierter Preismodelle vermeintliche Fehlbewertungen von Wertpapieren ausschlachten sollte. Um aus kleinen Preisunterschieden große Gewinne zu machen, "hebelte" LTCM seinen Kapitaleinsatz mit Hilfe von Derivaten und Krediten um ein Vielfaches auf rund 125 Milliarden Dollar. Das bittere Ende dieser scheinbar risikolosen Arbitrage kam, als die Kurse wegen der damaligen Rußland-Krise stärker schwankten als vorausberechnet. In wenigen Tagen häuften sich bei LTCM Milliardenverluste an. Die Krise drohte das globale Finanzsystem abstürzen zu lassen. Sie wurde erst gemeistert, als sich die amerikanische Notenbank einschaltete.

Auch die heute verwendeten Modelle bergen solche Risiken der Fehleinschätzung. Viele Forscher und Praktiker arbeiten deshalb daran, die ursprünglichen Modelle immer weiter zu verfeinern. So gibt es inzwischen ungezählte Varianten, bei denen die rigiden Annahmen durch flexiblere, allerdings auch kompliziertere mathematische Formeln ersetzt werden. Ein Beispiel ist die sogenannten Heteroskedastizität. Mit dem Zungenbrecher bezeichnen Fachleute eine Kennziffer, mit der sich Volatilitäten beschreiben lassen, die nicht konstant sind, sondern im Zeitablauf schwanken. Robert Engle erhielt für dieses Konzept 2003 den Wirtschafts-Nobelpreis. Andere Forscher setzen Großcomputer ein, um die stündlich erzeugten Millionen Preise an den Finanzmärkten rund um den Globus auszuwerten. Sie können ihre Modelle dadurch mit "besseren" Daten füttern.

Wieder andere arbeiten an ganz neuen Konzepten. Der Mathematiker Benoit Mandelbrot zum Beispiel kritisiert, die heute gängigen "Value at Risk"-Modelle zur Abschätzung von Marktrisiken, die auf den Formeln für die Brownsche Bewegung aufbauen, seien nicht "sturmsicher". Um diese Mängel zu beheben, will er die von ihm erfundene "fraktale Mathematik" für die Finanzmarktanalyse fruchtbar machen. Der Freiburger Finanzmathematiker Ernst Eberlein wiederum, Generalsekretär der "Bachelier Finance Society", tüftelt an hochgezüchteten "Levy-Modellen", in denen die Brownsche Bewegung nur ein Spezialfall unter vielen ist.

Auch wenn die Optionspreismodelle alles andere als perfekt sind - die Wirtschaft nutzt sie. Zum Beispiel sind Hypotheken für Eigenheime in Amerika meist mit einer Put-Option ausgestattet. So können Haushalte ihre Hypothek jederzeit ohne Vorfälligkeitsentschädigung kündigen und zu niedrigeren Zinsen refinanzieren. Zehn Millionen Haushalte haben dies in der jüngsten Niedrigzinsphase genutzt. Die eingesparten Zinsen flossen in zusätzlichen Konsum. Das hat Amerikas Wirtschaft in den vergangenen Jahren kraftvoll angetrieben. Auch in Deutschland offerieren die Banken immer mehr "strukturierte Produkte": So können Mittelständler durch eine Kombination von Kredit und Währungsoptionsgeschäft ihre Sollzinsen reduzieren - freilich unter Inkaufnahme bestimmter Risiken. Bei privaten Anlegern sind seit einiger Zeit "Zertifikate" die großen Renner. Solche Wertpapiere bündeln zum Beispiel den Kauf einer Aktie mit einem Optionsgeschäft. So ergeben sich für den Anleger ganz neuartige Chance-Risiko-Profile. Nirgendwo sonst bieten die Banken eine solche Vielfalt an Zertifikaten an. Die deutsche Finanzindustrie ist auf diesem Feld Weltmeister.

Stürmisches Wachstum im Handel mit Kreditrisiken

Mertons Modell, das Eigenkapital eines Unternehmens als Kaufoption auf dessen Aktiva zu deuten, hat ebenfalls weite Kreise gezogen. Mit Hilfe großer Datensammlungen läßt es sich nutzen, die Wahrscheinlichkeit, daß ein Unternehmen insolvent wird, aus der Volatilität von dessen Aktie abzuleiten. Im Grunde wird damit der Aktienmarkt als ein gewaltiger Supercomputer genutzt, der die Informationen von ungezählten Anlegern, die sich zum Kauf oder Verkauf entschlossen haben, zusammenführt und verarbeitet. Drei junge Wissenschaftler machten das Verfahren zur Basis eines Unternehmens, das später von der Ratingagentur Moody's übernommen wurde. Inzwischen beliefert "Moody's KMV" mehr als 2000 Banken in 80 Ländern mit seinen Modellen und Daten.

Auch viele Banken setzen hochgezüchtete Varianten des Merton-Modells ein, um Ausfallwahrscheinlichkeiten abzuschätzen oder Risikoprämien für Kredite zu berechnen. Das ist ein Wachstumsmarkt. Denn die kommenden Eigenkapitalvorschriften ("Basel II") zwingen die Banken, jeden Schuldner auf sein Ausfallrisiko abzuklopfen. Gleichzeitig sind neue Märkte für den Handel mit Kreditrisiken und ganzen Kreditportefeuilles entstanden. Diese Portefeuilles wiederum werden in Wertpapiere unterschiedlicher Bonität "tranchiert" und zum Beispiel an Versicherungen verkauft. So werden die Kreditrisiken von den Banken auf viele Schultern umverteilt.

Die Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten spielt auch bei dem derzeit "heißesten" Finanzinstrument, dem Credit Default Swap (CDS), eine zentrale Rolle. Der Markt für diese Kreditversicherungen ist inzwischen liquider als die traditionellen Märkte für Unternehmensanleihen und -kredite. Die Folge: Banken leiten die Risikoprämien für klassische Kredite und Anleihen zusehends aus den CDS-Preisen ab. Das Derivat ist wichtiger geworden als das "Underlying", aus dem es abgeleitet wurde. Und die Entwicklung geht immer weiter, überschlägt sich fast schon: Längst schon handeln Spezialisten mit puren Volatilitäten - dem Auf und Ab der Börsenkurse, das über die Mathematik der Brownschen Bewegung Einsteins und Bacheliers Erben in die Handelssäle brachte. Rasch steigende Umsätze verzeichnen in jüngster Zeit sogenannte Index-Swaps, die ihrerseits aus Credit Default Swaps berechnet werden. Auf diese Indexprodukte, die selbst schon aus Derivaten entstanden sind, gibt es wiederum Optionen ...

Investieren ist in die Zukunft gerichtet und deshalb riskant. Werden Risiken beherrschbar gemacht, steigert dies die Investitionsbereitschaft - die Basis für Wirtschaftswachtum und Wohlstand. Das "Financial Engineering" dient diesem Zweck. Es isoliert Risiken, bewertet sie, macht sie handelbar. So lassen sich Lasten auf viele Schultern verteilen, zum Teil sogar eliminieren. Das "Handwerkszeug" dazu liefert die moderne Finanzmathematik, die das Bankgeschäft Zug um Zug in eine Hochtechnologie-Branche umformt. Bachelier und - indirekt und unbeabsichtigt - Einstein waren die frühen Pioniere dieses Wandels. Ihren Erben wird die Arbeit nicht ausgehen. Denn die Welt steckt voller Risiken - und gerade deshalb voller Chancen. (bf.)

Quelle: F.A.Z., 20.05.2005, Nr. 115 / Seite 27
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