FAZ plus ArtikelMathematische Konstanten

Die Zahl Pi und ihre Schwestern

Von Ulf von Rauchhaupt
23.03.2021
, 14:19
Die Fibonacci-Spirale ist eine in der Natur häufig zu beobachtende Struktur wie hier beim Romanesco-Blumenkohl. Die Spirale birgt die vielleicht zweitberühmteste mathematische Konstante.
Wandel und Verfall wohin man blickt. Da hält man sich besser an Dinge, die sich niemals ändern und noch in jedem denkbaren Paralleluniversum dieselben sind. Ein Blick auf die mathematischen Konstanten.
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Am 14. März war Pi-Day. Irgendwann in den 1980ern kam Larry Shaw (1939 bis 2017), Kurator eines Technikmuseums in San Francisco, auf die Idee, an diesem Datum die Kreiszahl π, sprich „Pi“, zu feiern, unter anderem durch rituellen Verzehr kreisrunder Backwaren, in der Regel gedeckte Obstkuchen. Die haben nämlich nicht nur die angemessene Form, im Englischen wird ihr Singular („pie“) auch genauso ausgesprochen wie der griechische Buchstabe, der seit dem 18. Jahrhundert die gefeierte Zahl symbolisiert. Der konkrete Termin ergab sich aus den ersten drei Ziffern ihrer Dezimalschreibweise und der amerikanischen Konvention für Datumsangaben. Zudem hat am 14.3. Albert Einstein Geburtstag – Larry Shaw war Physiker. Seit 2018 ist das Datum überdies auch der Todestag Stephen Hawkings.

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Die Ehre eines eigenen Tages wird sonst keiner Zahl zuteil. Aber π ist ja nicht irgendeine Nummer, sondern eine mathematische Konstante. Der Begriff scheint etwas unglücklich, denn konstant sind die Zahlen eigentlich alle. Der Sinn des Wortgebrauchs ergibt sich aus dem Gegensatz zu ihren im Kontext mathematischer Untersuchungen veränderlichen Gegenstücken wie Variablen oder Parametern. Mathematische Konstanten sind besondere Zahlenwerte, die in Formeln auftauchen können, und sie sind umso bekannter, je diverser die Fachgebiete, in denen sie das tun. Die Prominenz von π verdankt sich auch dem Umstand, dass die Zahl nicht nur beim Vermessen von Kreisförmigem auftritt, sondern in den verschiedensten, der Geometrie oft weit entrückten Teilgebieten der Mathematik und Naturwissenschaften.

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Ewige Werte: Neun mathematische Konstanten

Pi π =3,14159265...

Sie ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Mit heute etwa 50 Billionen Nachkommastellen ist sie auch in diesem Sinne die bekannteste mathematische Konstante.

Der Goldene Schnitt Φ=1,61803398…

Manche halten Φ für eine der ästhetischsten Zahlen überhaupt. Es handelt sich um das Teilungsverhältnis, bei dem sich die Summe der Teile a und b zum größeren Teil a verhält wie dieser zum kleineren Teil b: (a + b)/a = a/b. Dass das gut aussieht, zeigt die nebenstehende „Fibonacci-Spirale“. Sie setzt sich aus Viertelkreisen zusammen, deren Radien durch die Fibonacci-Folge gegeben sind. Das ist die mit 0 und 1 beginnende Folge von Zahlen, bei der jede weitere die Summe ihrer beiden Vorgänger ist, also 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... . Zu immer größeren Radien approximiert die Fibonacci-Spirale immer mehr die „Goldene Spirale“, bei der jede Vierteldrehung den Radius um den Faktor Φ vergrößert – denn Φ ist der Wert, dem die Folge der Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen entgegenstrebt. Φ = a/b ergibt sich aus (a + b)/a = a/b durch Lösen einer quadratischen Gleichung zu Φ = (1 + √5)/2. Wegen der Wurzel darin ist der Goldene Schnitt irrational, kann also nicht als Bruch geschrieben werden, höchstens näherungsweise. Doch lässt sich zeigen, dass Φ sich so schlecht durch einen Bruch annähern lässt wie keine andere reelle Zahl. Der Goldene Schnitt ist so gesehen das Irrationalste, was es gibt.

Die Eulersche Zahl e=2,71828182…

Sie taucht gewöhnlich dort auf, wo eine Veränderung proportional zur Größe des Veränderten ist. Das reicht vom Zuwachs eines verzinsten Guthabens unter Berücksichtigung des Zinseszinses bis zum radioaktiven Zerfall. Aber auch in den Formeln für die berühmte Glockenkurve aus der Statistik oder die Form einer durchhängenden Kette begegnet einem das e – meist als Basis einer Exponentialfunktion, im einfachsten Fall also f(x) = e hoch x. Fast noch ubiquitärer ist deren Umkehrung, der natürliche Logarithmus, der etwa die Empfindlichkeit unseres Gehörs in Anhängigkeit von der Lautstärke beschreibt.

Die Euler-Mascheroni-Konstante γ = 0,57721566…

Eigentlich sollte sie nur Euler-Konstante heißen, denn Leonhard Euler hat sie zuerst berechnet: 1734 auf fünf Stellen genau und 1781, zwei Jahre vor seinem Tod, auf 16 Stellen. Lorenzo Mascheroni rechnete 1790 zwar 32 Stellen aus, davon aber einige falsch. Seit Name blieb der Zahl vermutlich vor allem deswegen erhalten, damit man sie nicht mit der Eulerschen Zahl e verwechselt. Ihr Sinn ist indes nicht so offenkundig wie bei π oder e. Hintergrund ist die Summe 1+½+⅓+¼+ ... +1/n als Funktion einer ganzen Zahl n. Obgleich die Summanden hier immer kleiner werden, wird die Summe für n gegen unendlich selbst unendlich – aber extrem langsam. Das Gleiche passiert bei einer ganz anderen Funktion: dem natürlichen Logarithmus von n, kurz „ln(n)“. Doch die Differenz aus beiden, also 1+½+⅓+¼+...+1/n – ln(n), strebt mit wachsendem n gegen einen endlichen Wert – eben die Euler-Mascheroni-Konstante. Obgleich sie heute bis auf fast 500 Milliarden Dezimalstellen bekannt ist, ließ sich bislang nicht ermitteln, ob sie irrational oder rational, also als ein Quotient ganzer Zahlen, ist. Sollte sie rational sein, dann ist es ein Bruch mit einem gigantischen Nenner von mindestens zehn hoch 242080.

Die Meissel-Mertens-Konstante M = 0,26149721…

Ernst Meissel war ein deutscher, Franz Mertens ein österreichischer Mathematiker des späten 19. Jahrhunderts, und nach beiden ist eine Zahl benannt, die zuweilen auch den Namen ihrer Zeitgenossen Jacques Hadamard und Charles Jean de la Vallée Poussin oder den Leopold Kroneckers trägt. Die vielen Väter sind vielleicht kein Zufall, denn die Idee dahinter drängt sich einem fast schon auf, wenn man die Euler-Mascheroni-Konstante kennt. Geht man dort von der Summe über die Kehrwerte der natürlichen Zahlen aus, ist es hier die Summe über die Kehrwerte der Primzahlen: ½ + ⅓ + 1/5+ 1/7 + 1/11 + 1/17 + ... +1/p bis zu irgendeiner Primzahl p, die gerade kleiner ist als eine vorgegebene Zahl n. Obgleich die Primzahlen nach oben hin immer seltener werden und bald recht groß (ihre Kehrwerte also entsprechend klein), wächst auch diese Summe mit steigendem n verblüffenderweise über alle Grenzen. Nur tut sie das noch viel langsamer, nämlich doppelt logarithmisch. Und analog zum Fall Euler-Mascheroni nähert sich die Differenz besagter Summe und der doppelten Logarithmusfunktion ln(ln(n)) mit steigendem n einem endlichen Wert an, der Meissel-Mertens-Konstante.

Die Brunsche Konstante B=1,902160583104…

Von dieser Zahl sind gegenwärtig nur diese zwölf Nachkommastellen bekannt, was sie wahrscheinlich zu der am wenigsten genau berechneten mathematischen Konstante überhaupt macht. Sie ist der Grenzwert, dem sich die Summe der Kehrwerte der Primzahlzwillinge, also (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + ... annähert – und diese Annäherung geht unglaublich langsam. Es ist dabei keineswegs selbstverständlich, dass diese Summe überhaupt konvergiert, wie die Mathematiker sich ausdrücken, anstatt mit immer mehr der dabei berücksichtigten direkt aufeinanderfolgenden Primzahlen – denn das sind diese Zwillinge – ins Unendliche zu wachsen. Die Summe aller inversen Primzahlen (siehe Meissel-Mertens-Konstante) tut schließlich genau das. Nimmt man nur die Zwillinge, ist das anders, wie 1919 der Norweger Viggo Brun bewies. Das ist ein etwas tragisches Resultat. Würde die Summe nämlich divergieren, folgte daraus sofort, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt – und ob das der Fall ist, wüssten die Zahlentheoretiker nur zu gerne. Leider beweist die Konvergenz – und damit die Existenz der Brunschen Konstante – nicht, dass es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt.

Die Apéry-Konstante ζ(3)=1.20205690 …

Mathematiker jenseits der 40, ebenso ihre Altersgenossen aus der theoretischen Physik, müssen damit klarkommen, dass ihnen wahrscheinlich keine ganz großen Entdeckungen mehr gelingen werden. Es gibt aber Ausnahmen. Roger Apéry von der Universität Caen in der Normandie war 62 Jahre alt, als er die Welt 1978 mit dem Beweis dafür überraschte, dass die Riemannsche Zeta-Funktion ζ(s) an der Stelle s = 3 eine irrationale Zahl ist. Diese Funktion, definiert als die unendliche Summe aus den Kehrwerten aller natürlicher Zahlen, jede hoch s genommen, ist eines der wichtigsten und rätselhaftesten Objekte der Mathematik. Die Leistung Apérys ist umso eindruckvoller, als bereits Leonhard Euler an dem Problem gescheitert war. Dabei muss Euler sich sehr abgemüht haben, denn für gerade s hatte er die Irrationalität von ζ(s) beweisen können, aber eben nicht für ungerade. Apérys innovativer Beweis hat Hoffnungen geweckt, die Natur der Zetafunktion bei anderen ungeraden Argumenten aufzuklären. Bisher ist aber nur bekannt, dass unendlich viele von ihnen irrational sind – was leider nicht impliziert, dass es für alle gilt – und dass eine der vier Zahlen ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) irrational sein muss.

Die Mills-Konstante θ = 1,30637788…

Um in den Zahlen bis hundert die Primzahlen aufzuspüren, also solche, die nur noch durch eins oder sich selbst teilbar sind, reicht das kleine Einmaleins. Danach aber wird es zunehmend schwieriger, denn dann werden die Primzahlen immer seltener und größer. Da wäre ein Algorithmus recht, der Primzahlen erzeugt. Dergleichen gibt es, und das am einfachsten zu beschreibende Verfahren geht so: Man nehme obige Zahl θ, nehme sie hoch drei hoch irgendeine natürliche Zahl n – berechne also θ hoch (drei hoch n) - und runde dann das Ergebnis auf die nächste ganze Zahl ab. Diese ist garantiert eine Primzahl: Für n=1 erhält man 2, für n=2 die 11, für n=3 die 1361, was ebenfalls prim ist. Derartiges Primzahlerzeugen funktioniert nicht nur für [theta], aber diese Zahl - ihre Existenz hat der Amerikaner William H. Mills 1947 damals noch als Student bewiesen - ist die kleinste, mit der das geht. Leider ist die Formel in der Praxis ziemlich unbrauchbar. Denn erstens wird das In-den-Exponenten-Nehmen für große n schnell so aufwendig, dass auch die heutigen Supercomputer damit überfordert sind. Zweitens ist θ einfach nicht auf ausreichend viele Nachkommastellen genau bekannt, um damit neue, bisher unbekannte Primzahlen zu generieren.

Die erste Feigenbaum-Konstante δ= 4,6692016091…

Die vielleicht größte mathematische Entdeckung nach dem Krieg dreht sich um die sogenannte Logistische Gleichung Xn+1 = r Xn (1 – Xn). Sie beschreibt etwa die Entwicklung einer Kaninchenpopulation: Deren relative Zahl Xn+1 in einem Jahr ist proportional zu der Xn im Vorjahr sowie einem Faktor r, der ihre Vermehrungsfreude modelliert. Dass mehr Kaninchen einer Generation der nachfolgenden auch mehr Futter wegfressen, ist durch den Faktor (1-Xn) berücksichtigt. Nun kann man r vorgeben und sehen, was im Laufe vieler Jahre durch wiederholte Anwendung der Gleichung passiert. Wie sich zeigt, stellt sich für r zwischen 1 und 3 eine stabile Population ein. Überschreitet r den Wert 3, gibt es auf einmal zwei Populationszahlen, die immer wiederkehren – in einem Jahr diese, im nächsten die andere. Jenseits von etwa 3,45 gibt es plötzlich vier solcher sogenannter Häufungspunkte, von etwa 3,54 an acht, dann 16, die in obiger Grafik aber schon nicht mehr auseinanderzuhalten sind, denn bereits mit einem r von etwa 3,57 beginnt das Chaos: In den Populationsschwankungen ist keinerlei Periodizität mehr erkennbar. Zuvor aber haben sich die r-Intervalle, nach denen es zu einer Verdopplung der Häufungspunkte kommt, hier L0, L1, L2, L3 ..., immer weiter verkürzt, und zwar so, dass die Verhältnisse zweier aufeinanderfolgender Intervalle einem Grenzwert zustreben, der nach dem Physiker Mitchell Feigenbaum benannt ist, der dies 1975 erkannte und mathematisch beweisen konnte. Wie sich in der Folge herausstellte, hatte der Amerikaner damit ein sehr universelles Gesetz entdeckt: Jede Gleichung, in der die iterierte Variable – hier Xn – quadratisch vorkommt, zeigt dieses Verhalten, und stets verdoppeln sich die Häufungspunkte nach Maßgabe der ersten Feigenbaum-Zahl, die damit so wahrhaft wie sonst vielleicht nur noch π oder e würdig ist, eine Konstante genannt zu werden.

Quelle: F.A.S.
Autorenporträt / Rauchhaupt, Ulf von (UvR)
Ulf von Rauchhaupt
Verantwortlich für das Ressort „Wissenschaft“ der Frankfurter Allgemeinen Sonntagszeitung.
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