Die Statistik der Pandemie

Das dicke Ende der Häufigkeitsverteilung

Von Ulf von Rauchhaupt
Aktualisiert am 02.06.2020
 - 12:08
Normalverteilung vs Verteilung Fat-Tail
Extremes ist selten – aber nicht immer so selten, wie man es etwa vom Würfeln gewohnt ist. Epidemien zum Beispiel sind da anders. Ist das ein Problem?

Catanier siedeln nur ungern, wo ein Plättchen mit einer Zwei, Drei, Elf oder Zwölf liegt. Sind das doch die Augensummen zweier Würfel, die sich am seltensten einstellen, wenn in dem Gesellschaftsspiel „Die Siedler von Catan“ die Erträge ausgewürfelt werden. Diese Zahlen machen sich weit rarer als die nächsthäufigen Vieren, Fünfen, Neunen und Zehnen gegenüber den besonders ertragreichen Sechsen und Achten. Das Gesetz dahinter ist die sogenannte Normalverteilung, und beschrieben wird sie durch die Gaußsche Glockenkurve, die zu den Seiten hin sehr schnell abfällt. Die Enden der Glockenkurve erreichen zwar nie ganz die Nulllinie, doch für normalverteilte Zufallsgeschehen werden die weit vom Glockenscheitel entfernten Ausgänge extrem schnell extrem unwahrscheinlich. Man sagt, diese Verteilung hat dünne Enden, oder auf Englisch: thin tails.

Die dünn endende Normalverteilung tritt so häufig auf, dass selbst viele Statistiker kaum je mit etwas anderem zu tun haben. Die Körpergrößen von Kindern einer Schulklasse sind etwa so verteilt: Es gibt dort kleinere und größere Schüler, aber doch nur äußerst selten welche, die sehr viel kleiner oder sehr viel größer wären als der Durchschnitt.

Normal betrachtet, gibt es zu viele reiche Leute

Aber es gibt Phänomene, bei denen das anders ist. Vermögen etwa, wie der italienische Ökonom Vilfredo Pareto (1848 bis 1923) feststellte: Zwar sind reiche Leute seltener als solche mit wenig Geld, aber es gibt deutlich mehr davon, als es geben dürfte, wären Einkommen normalverteilt. Auch die Einwohnerzahlen urbaner Zentren folgt keiner Glockenkurve, andernfalls gäbe es keine Städte von der Größe Kairos oder São Paulos. In allen diesen Phänomenen sind seltener auftretende Fälle im Vergleich zu den häufigeren nicht so selten wie beim Würfeln oder dem Erfassen von Körpergrößen. Extreme Fälle wie Milliardenvermögen oder Megalopolen kommen öfter vor, als es angesichts ihrer extremen Natur zu erwarten wäre. Die Verteilungen haben einen „fat tail“, ein dickes Ende.

Anfang der vergangenen Woche erschien in „Nature Physics ein kurzer Artikel zweier Finanzstatistiker – Pasquale Cirillo von der Technischen Universität Delft in den Niederlanden und Nassim Nicholas Taleb von der New York University –, in dem sie feststellen, dass auch die Opferzahlen großer Epidemien einer Verteilung mit dickem Ende folgt. Dazu analysierten sie historische Zahlen von insgesamt 72 Epidemien mit jeweils mehr als 1000 Todesopfern, angefangen bei der Attischen Seuche, die in den Jahren 429 bis 426 v. Chr. die Athener heimsuchte, bis hin zu drei noch andauernden Krankheitsausbrüchen, darunter die Covid-19-Pandemie. Die meisten dieser Seuchen forderten einige zehntausend oder hunderttausend Opfer, einige aber kosteten vielen Millionen Menschen das Leben mit dem „Schwarzen Tod“ des ausgehenden Mittelalters als Spitzenreiter. Nach den von den Autoren benutzten Quellen starben daran bis zu 200 Millionen Menschen.

Nimmt man falsche Verteilung, kann es teuer werden

Auf diese Daten wenden Cirillo und Taleb nun mathematische Werkzeuge an, um die statistische Natur großer Epidemien zu bestimmen. Ihr Ergebnis, dessen Robustheit gegenüber etwaigen Fehlern in der historischen Überlieferung der Opferzahlen sie sicherstellen, ist eindeutig: Die Verteilung hat ein dickes Ende. Und zwar ein sehr dickes. Es ist so dick, dass die Verteilung an sich keinen Mittelwert mehr besitzt: Man kann also nicht davon sprechen, dass Epidemien im Mittel über alle möglichen großen Seuchen durchschnittlich so und so viele Menschen töten – es ist vielmehr immer mit noch schwereren Seuchen zu rechnen, mit Opferzahlen, die allein durch die jeweils aktuelle Größe der Weltbevölkerung begrenzt sind. Statistisch ähnelten Epidemien daher Kriegen, bei deren Opferzahlen Cirillo und Taleb in einer früheren Arbeit Ähnliches festgestellt hatten.

Die beiden Mathematiker warnen daher davor, die Gefahr, die von der gegenwärtigen Pandemie ausgeht, mit Risiken etwa von Verkehrsunfällen oder Herzinfarkten zu vergleichen. Denn dort hätten die Verteilungen der Opferzahlen dünne Enden ähnlich der Glockenkurve. „Das ist bei Entscheidungsträgern immer noch ein verbreiteter und kostspieliger Fehler“, schreiben Cirillo und Taleb und fordern, Risiken mit dickem Ende mit den dafür geeigneten statistischen Methoden zu behandeln, nämlich denen der sogenannten Extremwerttheorie, welche die grundsätzlichen Risikoquellen nicht an Mittelwerten festmacht, sondern an den Extremen unter den auftretenden Ereignissen. Tatsächlich ist das Hantieren mit der falschen Statistik schon teuer gekommen. „Kapitalmarktrenditen werden oft normalverteilt behandelt, und damit unterschätzt man die Wahrscheinlichkeit großer Verluste“, sagt Axel Bücher, Spezialist für die Mathematik der Extremwertstatistik an der Universität Düsseldorf. „Es gibt Wissenschaftler, die darin einen Hauptgrund der Verwerfungen auf den Finanzmärkten sehen.“

Informationen in den Extremen

Nun finden Cirillo und Taleb es aber auch problematisch, wenn epidemiologische Modelle, wie sie zum Beispiel auch benutzt werden, um die gegenwärtige Covid-19-Pandemie zu modellieren, nicht nur zur nachträglichen Aufklärung eines Epidemiegeschehens herangezogen werden, sondern zum Risikomanagement. „Je dicker das Ende einer statistischen Verteilung, umso mehr wedelt der Schwanz mit dem Hund“, schreiben sie. „Soll heißen: Umso mehr statistische Information steckt in den Extremen und weniger in den Ereignissen, die häufig auftreten.“ Dieser Effekt aber könne etwa Analysen von Szenarien, die mit Mittelwerten arbeiteten, leicht unbrauchbar machen“, schreiben Cirillo und Taleb.

Ulrich Mansmann, Direktor des Instituts für Medizinische Informationsverarbeitung, Biometrie und Epidemiologie an der Universität München, sieht das etwas differenzierter. „Die Modelle berechnen Mittelwerte“, stimmt er zu. Aber: „Das ist per se nicht falsch. Wichtig wird die Frage, wie Beobachtungen um diese Mittelwerte schwanken. Darüber wird in der öffentlichen Diskussion wenig gesprochen. Dem Katastrophenschutz ist jedoch bewusst, dass man nicht auf die Mittelwerte, sondern auf Extremwerte schauen muss.“ Generell sei man sich in der Epidemiologie der Gefahr von „fat tails“ durchaus bewusst. Ein naives Hantieren mit Mittelwerten hält auch Mansmann für fatal. „Die Bereitstellung einer ,mittleren Anzahl‘ von Betten wäre für viele ein Todesurteil.“ Allerdings könnten klassische epidemiologische Verfahren genauso zu einer Überschätzung des worst case führen und damit zu einer Fehlallokation knapper Ressourcen. „Stellt der Artikel von Cirillo und Taleb die Gefahr der Unterschätzung zur Diskussion, sehe ich aber in der epidemiologischen Praxis auch die Gefahr zur Überschätzung.“

Sind Risiken mit dicken Enden versicherbar?

Im Übrigen gibt es durchaus einiges an Erfahrung im Umgang mit Risiken, deren Häufigkeitsverteilungen dicke Enden aufweisen. Denn dergleichen ist auch bei Naturkatastrophen anzutreffen, Starkniederschlägen zum Beispiel oder Erdbeben – und mit den daraus sich ergebenden Schadenshäufigkeiten kommt die Rückversicherungswirtschaft schon lange gut zurecht. Daher ließen sich auch Epidemierisiken auf der Grundlage vergangener Ereignisse modellieren, erklärt Gunther Kraut von der Münchener Rück, der dort die Einheit für „Epidemic Risk Solutions“ leitet. Bei Pandemien bestehe zwar die Gefahr eines sogenannten Kumul, also des gleichzeitigen Auftretens von mehr Schadensfällen, als reguliert werden könnten – doch auch hier habe man Möglichkeiten entwickelt, zumindest eine begrenzte Anzahl von Kunden zu versichern, etwa große Unternehmen, die in Weltregionen operieren, wo es öfter zu Epidemien kommt. „Noch ist das ein Nischenmarkt“, sagt Gunther Kraut. Nicht allen potentiellen Kunden sei immer bewusst, dass sie diesem Risiko ausgesetzt sind. „Vor 2020 musste man das in Verkaufsgesprächen erst mal erklären. Das ist jetzt sicher etwas leichter geworden.“ Das dicke Ende – die nicht zu vernachlässigende Wahrscheinlichkeit, dass es richtig schlimm kommt – muss dabei aber einkalkuliert werden. „In dem Moment, wo wir eine Epidemie versichern, sind wir dann auch in unserem Versprechen, wenn sie zur Pandemie wird.“

Quelle: F.A.S.
Autorenporträt / Rauchhaupt, Ulf von (UvR)
Ulf von Rauchhaupt
Verantwortlich für das Ressort „Wissenschaft“ der Frankfurter Allgemeinen Sonntagszeitung.
  Zur Startseite
Verlagsangebot
Verlagsangebot