„Hardys Vermutung“

Primzahlen ohne Ende

Von Heinrich Hemme
06.07.2004
, 18:20
Primzahlen: Rechnen bis ans Ende von Raum und Zeit
Zwei Mathematiker haben die mehr als achtzig Jahre alte Hardysche Vermutung bewiesen, daß es auch arithmetische Folgen beliebiger Länge gibt, die nur aus Primzahlen bestehen.
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Jedes Schulkind lernt im Mathematikunterricht irgendwann einmal die arithmetischen Zahlenfolgen kennen. Das sind Aneinanderreihungen von Zahlen, bei denen die Abstände zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Gliedern gleich sind - etwa bei der Folge 5, 8, 11, 14, 17, 20. Der Abstand der Glieder beträgt hierbei jeweils 3. Vor kurzem haben zwei Mathematiker die mehr als achtzig Jahre alte Hardysche Vermutung bewiesen, daß es auch arithmetische Folgen beliebiger Länge gibt, die nur aus Primzahlen bestehen. Außerdem ist es ihnen gelungen, zu zeigen, daß es zu jeder vorgegebenen Länge sogar jeweils unendlich viele arithmetische Folgen von Primzahlen gibt.

Arithmetische Folgen sind seit Jahrtausenden bekannt und bergen eigentlich keine Geheimnisse mehr. Spannend wird es erst dann, wenn die Glieder einer arithmetischen Folge noch zusätzliche Eigenschaften haben sollen, wie das bei Primzahlen der Fall ist. Primzahlen sind ganze Zahlen, die größer als 1 und nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Die zehn kleinsten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 und 29. Eine arithmetische Primzahlfolge mit fünf Gliedern ist beispielsweise 5, 17, 29, 41, 53. Der Abstand der Zahlen beträgt jeweils 12. Diese Folge läßt sich nicht verlängern, denn das nächste Glied müßte 65 sein, und diese Zahl ist das Produkt aus 5 und 13 und somit keine Primzahl.

Wieviel Glieder sind möglich?

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Wie viele Glieder kann eine arithmetische Primzahlfolge haben? Mit dieser Frage haben sich schon um 1770 der Franzose Joseph-Louis Lagrange und der Engländer Edward Waring beschäftigt. Im Jahre 1923 vermuteten der berühmte britische Mathematiker Godfrey Harold Hardy und sein Kollege John Littlewood, daß es keine Obergrenze für die Zahl der Glieder gebe. Doch es gelang ihnen nicht, das zu beweisen. Im Jahr 1939 gab es jedoch einen anderen Fortschritt. Der holländische Mathematiker Johannes van der Corput konnte schlüssig zeigen, daß es unendlich viele arithmetische Primzahlfolgen mit genau drei Gliedern gibt. Zwei Beispiele hierfür sind 3, 5, 7 und 47, 53, 59.

Die längsten Primzahlfolgen, die man bisher kennt, haben 22 Glieder. Die erste dieser Folgen entdeckten Paul A. Pritchard, Andrew Moran und Anthony Thyssen im Jahr 1993. Sie beginnt mit der Zahl 11 410 337 850 553, und jedes weitere Glied ist um 4 609 098 694 200 größer als das vorhergehende. Eine zweite Primzahlfolge mit 22 Gliedern hat der Mathematiker Markus Frind im vergangenen Jahr gefunden. Ihre erste Zahl ist 376 859 931 192 959, und der Abstand zwischen den Gliedern beträgt 18 549 279 769 020.

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Beweis auf 49 Seiten

In seinen Memoiren hat Hardy 1940 geschrieben, daß die Mathematik mehr als alle anderen Wissenschaften und Künste ein Spiel für junge Leute sei. Der 27 Jahre alte Ben Green von der University of British Columbia in Vancouver und der 29 Jahre alte Terence Tao von der University of California in Los Angeles scheinen ihm recht zu geben. Den beiden jungen Mathematikern ist es gelungen, die nach ihm benannte Vermutung von 1923 zu beweisen: Es gibt arithmetische Primzahlfolgen beliebiger Länge und außerdem zu jeder vorgegebenen Länge unendlich viele Folgen.

Eigentlich hatten Green und Tao nur beweisen wollen, daß es unendlich viele arithmetische Primzahlfolgen mit vier Gliedern gibt. Dazu betrachteten sie Mengen, die neben Primzahlen auch Beinaheprimzahlen enthielten. Das sind Zahlen, die nur wenige Teiler haben - beispielsweise die Halbprimzahlen, die Produkte aus genau zwei Primzahlen sind. Dadurch konnten die beiden Mathematiker ihre Arbeit wesentlich erleichtern, denn über Beinaheprimzahlen gab es schon zahlreiche nützliche Theoreme. Schließlich erkannten sie, daß ihr Verfahren viel mächtiger ist, als sie selbst angenommen hatten, und sie bewiesen damit die Hardysche Vermutung.

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Wer nun glaubt, man könne mit Greens und Taos Verfahren, dessen Darstellung immerhin 49 Seiten umfaßt, tatsächlich beliebig lange arithmetische Primzahlfolgen finden, wird enttäuscht sein. Der Beweis ist nicht konstruktiv. Das heißt, die beiden Mathematiker haben nur gezeigt, daß beliebig lange Folgen existieren, aber nicht, wie man sie findet.

Quelle: Frankfurter Allgemeine Zeitung, 07.07.2004, Nr. 155 / Seite N1
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