Kurt Gödel

Der Herr Professor und die Wahrheit

Von Ulf von Rauchhaupt
23.04.2006
, 12:43
Vor 100 Jahren wurde einer der größten Logiker aller Zeiten geboren. Sein Werk erschütterte die Fundamente der Mathematik. Über die Folgen streiten die Gelehrten noch heute.

Was ist Wahrheit? Die Frage, mit der sich Pontius Pilatus einst aus der Affäre zog, als er Jesus verhörte (Joh. 18,38), steht noch immer im Raum. Dabei gehen die meisten Menschen - Kriminalbeamte, Journalisten, Wissenschaftler - selbstverständlich davon aus, daß es eine Wahrheit gibt, die es nur herauszufinden gilt. Dummerweise kann man sich dabei irren: Indizien können trügen, Informanten lügen - was läßt sich da schon mit letzter Sicherheit beweisen? Trotzdem, in der Pilatus-Pose erscheint man nur auf den ersten Blick weiser als der Rest der Menschheit. Wer wirklich bezweifelt, daß man Wahrheiten erkennen kann, der muß auch diesen Zweifel bezweifeln.

Nun gibt es eine Wissenschaft, in der es unanfechtbare Beweise tatsächlich gibt. Ist in der Mathematik ein Satz bewiesen, dann ist daran grundsätzlich nichts mehr zu deuteln, dann ist der Satz wahr. Der Grund scheint klar: Mathematische Systeme wie die Arithmetik oder die Geometrie sind deduktiv. Eine ihrer Aussagen zu beweisen bedeutet, sie mittels der zulässigen Rechenregeln auf einige wenige, sofort einleuchtende Axiome zurückzuführen. Damit scheint die Frage für die Mathematik beantwortet: Wahrheit ist Beweisbarkeit.

Doch im Jahre 1931 veröffentlichte der österreichische Logiker Kurt Gödel einen Aufsatz, in dem er zeigte, daß dies nicht stimmt. Er bewies, daß sich in einem widerspruchsfreien mathematischen System, das mindestens die Arithmetik umfaßt, Sätze formulieren lassen, die nicht aus den Axiomen ableitbar, aber trotzdem wahr sind. Diese Aussage ist der erste sogenannte „Unvollständigkeitssatz“. Aus ihm folgt ein zweiter: Es ist nicht möglich, innerhalb einer mathematischen Theorie zu beweisen, daß bei Ableitungen aus ihren Axiomen nie Widersprüche auftreten werden. Und dies gilt nicht erst in irgendwelchen arkanen Formalismen, sondern schon im Fall der Arithmetik, der ganz normalen Schulmathematik.

Anfang mit Hilbert

Gödels Resultat war - und ist noch heute - eine Ungeheuerlichkeit. Tatsächlich begriffen auch viele Experten nicht sofort, was ihr junger Kollege da angerichtet hatte: Jahrzehntelange Bemühungen, wenigstens die Mathematik auf ein unangreifbares erkenntnistheoretisches Fundament zu stellen, erwiesen sich damit als vergeblich. Auch der damalige Mathematiker-Papst David Hilbert tat sich ausgesprochen schwer, Gödels Unvollständigkeitssätze zu akzeptieren.

Dabei hatte mit Hilbert alles angefangen. Seit dem Beginn des Jahrhunderts war er nicht müde geworden, die umfassende Axiomatisierung der Mathematik zu fordern. Die gesamte Wissenschaft der Zahlen und all der anderen abstrakten Objekte sollte aus einem System endlich vieler Axiome ableitbar sein, dessen Widerspruchsfreiheit es zu beweisen galt. Hinter diesem „Hilbert-Programm“ steckte ein altes Problem: Schon in der Antike kursierte die Anekdote von dem Kreter Epimenides, der behauptet, daß alle Kreter lügen. Offenbar ist es möglich, daß zwei an sich unschuldige Sätze (“Epimenides ist ein Kreter“ und „Epimenides sagt, alle Kreter lügen“) zusammengenommen ein Paradox ergeben: einen sich selbst widersprechenden Satz. Als nun um 1900 klar wurde, daß dergleichen nicht nur in der ja nie ganz eindeutigen Alltagssprache auftreten kann, sondern auch in abstrakten Formalismen, war die Sorge groß. Immerhin bedienten sich Physik und Ingenieurswissenschaften in immer größerem Ausmaß mathematischer Verfahren. Was, wenn sich solche Paradoxa an entscheidenden Stellen in das mathematische Lehrgebäude einschlichen?

Während es Hilbert vor allem darum ging, die Mathematik vor Widersprüchlichkeiten zu bewahren, paßte sein Programm doch auch trefflich zum damaligen philosophischen Zeitgeist, namentlich zum sogenannten logischen Positivismus. Dieser hatte sich unter dem Eindruck der naturwissenschaftlichen Fortschritte vorgenommen, die Wissenschaft von metaphysischen Sätzen zu reinigen, also von allen Sätzen über Dinge, die nicht unmittelbar Gegenstand der Sinneserfahrung sind. Aussagen dieser Art - von solchen über Gott bis hin zu ethischen Urteilen - müßte demnach die Eigenschaft, wahr sein zu können, abgesprochen werden. Die logischen Positivisten nannten sie „sinnlos“. Sinnvoll war für sie nur, was sich auf Sinneserfahrung bezieht oder mittels der als reine Tautologien aufgefaßten Gesetze der Logik daraus ableiten läßt.

Ein Platonist ramponiert das Programm des Positivismus

Die Mathematik war da für die logischen Positivisten ein Problem. Einerseits ist die von ihnen vergötterte Physik bis ins Mark mathematisiert. Andererseits ging es bei ihr ja um alles andere als um Gegenstände der Sinneserfahrung. Daher versuchte man, in den Sätzen der Mathematik etwas Ähnliches zu sehen wie in jenen der Logik: Tautologien, die nur die Aussagen der Axiome umformen, aber für sich nichts bedeuten. Es könne daher keine mathematischen Wahrheiten geben, die nicht schon in den Axiomen und Rechenregeln angelegt seien, welche selber als bloße Definitionen aufzufassen seien. Mathematik sei demnach reine Syntax. Für den logischen Positivismus war die Durchführbarkeit des Hilbert-Programms damit ausgemachte Sache.

Insofern legte sich der führende Positivistenzirkel, der sogenannte Wiener Kreis, eine Natter an den Busen, als er den begabten Studenten Kurt Gödel zu seinen Sitzungen einlud. Nun ist nicht ganz klar, wie Gödel während seiner Jahre im Wiener Kreis (1926 bis 1928) über den Positivismus dachte - der verschlossene Mann beteiligte sich kaum an den Debatten. Die amerikanische Philosophin Rebecca Goldstein schreibt in ihrem soeben auf deutsch erschienenen Buch, Gödel sei damals schon das genaue Gegenteil eines Positivisten gewesen - nämlich ein Platonist, also jemand, der in einer mathematischen Struktur etwas objektiv Existierendes sieht, das von den Mathematikern nicht definiert oder konstruiert, sondern entdeckt wird. „Ich teilte niemals die Meinung, die Mathematik sei eine Syntax der Sprache“, sagte Gödel später, „diese Ansicht kann vielmehr mit meinen Ergebnissen widerlegt werden.“

Dennoch waren die Unvollständigkeitssätze keine beabsichtigte Sabotage des Positivismus. „Was immer Gödels philosophische Ansichten zu dieser Zeit gewesen sein mögen“, sagt der Mathematikphilosoph Solomon Feferman von der Stanford University, „die Motive für seine Arbeit hatten nichts damit zu tun, daß er den logischen Positivismus unterminieren wollte.“ Tatsächlich hatte Gödel 1929 in seiner Doktorarbeit das Hilbert-Programm sogar ein Stück weit vorangetrieben, als er dessen Gültigkeit für die sogenannten Prädikatenlogik erster Ordnung bewies - eine Logik, die schwächer ist als jene, die in der der Arithmetik zum tragen kommt, da in ihr das Axiom der vollständigen Induktion unzulässig ist. Erst als er sich an den nächsten Schritt des Hilbert-Programmes wagte, erkannte er, daß die Arithmetik unvollständig war, also die Formulierung von wahren Aussagen erlaubt, die nicht aus den Axiomen folgen.

Durchnummerieren mit Hintersinn

Es ist äußerst kurios, daß es überhaupt möglich ist, so etwas rein innermathematisch zu beweisen. Denn „beweisbar“ oder „widerspruchsfrei“ sind keine mathematischen Begriffe (wie „gerade“ oder „prim“), sondern meta-mathematische. Es sind keine Aussagen einer mathematischen Theorie, sondern Aussagen über Aussagen solcher Theorien, also etwa über Formeln wie „3+2=5“, die selber zunächst mal nichts sind als aneinandergereihte Symbole. Gödel gelang es aber, allen gültigen Symbolfolgen der Arithmetik Zahlen zuzuordnen, heute Gödel-Nummern genannt, - und zwar so, daß sich die meta-mathematischen Eigenschaften der entsprechenden Symbolfolgen eindeutig in den arithmetischen Eigenschaften ihrer Nummern spiegeln. Somit lassen sich auch meta-mathematische Aussagen, also etwa „Satz B folgt aus Satz A“, in arithmetische Formeln wie „Zahl a ist ein Vielfaches der Zahl b“ verwandeln, so daß Symbolfolgen wahrer Sätze immer Gödel-Nummern wahrer arithmetischer Formeln entsprechen.

Damit war Gödel etwas Verblüffendes möglich: Er konstruierte eine arithmetische Formel mit einer Gödel-Nummer N, welche, rückübersetzt in eine Symbolfolge, lautet: „Die arithmetische Formel mit der Nummer N ist unbeweisbar.“ Das sieht aus wie eine Paradoxie nach Art des lügenden Kreters - es ist aber keine, denn die Formel ist ja nicht identisch mit der Symbolfolge, sondern repräsentiert sie nur auf der Ebene der Arithmetik. Auf dieser Ebene stellt sie aber ihre eigene Unbeweisbarkeit sicher. Denn sie ist dann und nur dann wahr, wenn sie unbeweisbar ist (die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik vorausgesetzt). Dann aber garantiert die Konstruktion der Gödel-Numerierung, daß auch die Zeichenkette eine wahre Aussage bildet - obgleich diese selber nicht bewiesen wurde.

Man sieht: Die Gödelsche Unvollständigkeit ist nichts Geheimnisvolles, sondern die Folge des Umstandes, daß in Systemen, die komplex genug sind, um sich selbst zu beschreiben, die Grenzen dieser Beschreibung spürbar werden. Natürlich könnte man die Grenze gewissermaßen eingemeinden, indem man einen unentscheidbaren, also weder beweisbaren noch widerlegbaren Satz kurzerhand dem Axiomensystem hinzufügt. Doch alles, was man sich damit - neben einer Verkomplizierung der Theorie - einhandelte, wären neue unentscheidbare Sätze. Die Grenzen, die Gödel aufzeigte, lassen sich zwar verschieben, aber nie beseitigen.

Das Beispiel Kontinuumshypothese

Da stellt sich natürlich die Frage, wie eng diese Grenzen sind. Wie häufig bekommen die Mathematiker es mit solchen unentscheidbaren Aussagen zu tun?

Im Prinzip könnten unter den berühmten noch unbewiesenen mathematischen Vermutungen auch solche sein, die sich im Rahmen des heute üblichen Axiomensystems gar nicht beweisen lassen - obwohl sie vielleicht wahr sind. Unter den Aussagen, bei denen das erwiesenermaßen der Fall ist, dürfte die sogenannte Kontinuumshypothese die interessanteste sein. Aber solche Exemplare sind selten. Gödel selbst schätzte 1951 in einem Vortrag, daß 99,9 Prozent der Mathematik aus den Standard-Axiomen folgen. Soweit man weiß, gehören dazu auch sämtliche Theoreme, die irgendeine praktische Relevanz haben, etwa in der Physik. Praktisch ist das Scheitern des Hilbert-Programms daher ohne jede Folge geblieben.

Gilt das auch für die Frage nach der Wahrheit? Sicher ist der logische Positivismus nicht nur an Gödel gescheitert. Umgekehrt braucht man ihn auch nicht unbedingt, um antimetaphysische Weltanschauungen anzuzweifeln. Auch zeigen die Unvollständigkeitssätze als solche keineswegs, daß es absolut unbeweisbare mathematische Wahrheiten gibt. Die Eigenschaft der Unvollständigkeit bezieht sich ja immer auf eine mathematische Theorie mit ihrem jeweiligen Axiomensystem.

Platon und die Mathematiker

Allerdings war Gödel selber spätestens seit 1940 erklärter Platonist und als solcher entschieden der Meinung, seine Entdeckung sei unvereinbar mit dem sogenannten Formalismus, also der Idee, mathematische Strukturen seien nur etwas, das Menschen sich ausdenken - und sei es dadurch, daß sie Axiomensysteme ersinnen. Denn was zeigt die Unvollständigkeit der Axiomensysteme anderes, als daß sich mit ihnen die Welt mathematischer Wahrheiten nicht ausschöpfen läßt?

Wer recht hat, die Platonisten oder die Formalisten, ist bis heute umstritten. Interessant ist, daß es in dieser Frage offenbar einen Graben zwischen Mathematikern und Mathematikphilosophen gibt. „Ich vermute, unter den Mathematikphilosophen gibt es nur wenige Platonisten“, sagt Solomon Feferman. Anderes hat Paul Cohen beobachtet, der 1963 den Beweis für die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese von den Standard-Axiomen der Mengenlehre vollendete und der sich selber als gemäßigten Formalisten sieht. „Bei einer Podiumsdiskussion im vergangenen Jahr ergab eine Umfrage, daß die meisten Mathematiker den Platonismus vertreten“, sagt Cohen. „Aber ich würde sagen, Gödels Arbeit von 1931 beantwortet die Frage nicht, sondern zeigt uns eher die Schwierigkeiten, sie zu beantworten.“

Gödel selber dachte da, wie gesagt, anders. In seinen späteren Jahren hat er sich selber intensiv mit philosophischen Fragen befaßt, aber nur wenig darüber veröffentlicht. In seinem Nachlaß fand sich auch eine formalisierte Version des sogenannten ontologischen Gottesbeweises. Es ist ein altes Argument platonistischer Denktradition, das aus der Möglichkeit der Existenz Gottes seine Wahrheit ableitet. Wenn man nur wüßte, was Wahrheit ist.

Kleines Gödel-Glossar

Arithmetik heißt die Theorie der ganzen Zahlen (... -1,0,1,2, ...) oder auch die der natürlichen Zahlen (1,2,3, ...).

Axiome sind unbewiesene, aber für wahr gehaltene Sätze. Ein Axiomensystem ist eine Anzahl von Axiomen, die zusammen
mit allen daraus ableitbaren Sätzen eine Theorie (auch System genannt) bilden.

Beweisen heißt zu zeigen, wie ein Satz aus einem Axiomensystem mit den gültigen Rechenregeln folgt.

Formel heißt ein mathematischer Satz (im Unterschied zu einem meta-mathematischen).

Meta-mathematisch heißen Sätze, die Sätze einer Theorie zum Gegenstand haben.

Satz (auch Aussage genannt) heißt eine Folge von Symbolen, die aufgrund ihrer
Struktur wahr oder falsch sein kann. „1 + 1 = 2“ und „1 + 1 = 3“ sind beides Sätze,
„ 2 + =“ ist keiner.

Unentscheidbar ist ein Satz, der sich weder beweisen noch widerlegen läßt.

Unvollständig heißt ein System, in dem sich nicht alle wahren Sätze beweisen lassen.

Quelle: F.A.S.
Autorenporträt / Rauchhaupt, Ulf von (UvR)
Ulf von Rauchhaupt
Verantwortlich für das Ressort „Wissenschaft“ der Frankfurter Allgemeinen Sonntagszeitung.
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